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Université Claude Bernard - Lyon I (05/12/2005), François Gieres (Dir.)
Theories des champs topologiques et mecanique quantique en espace non-commutatif
M. Lefrançois1
(05/12/2005)

Le Modèle Standard de la physique des particules décrit les interactions entre les constituants élémentaires de la matière. Cependant, il ne parvient pas à concilier théorie quantique des champs et relativité générale. Cette thèse se focalise sur deux approches au-delà du Modèle Standard, a priori différentes mais non nécessairement
incompatibles entre elles : les théories des champs topologiques et la mécanique quantique en espace non-commutatif.
Les théories topologiques ont été introduites par Witten il y a une vingtaine d'années et possèdent un lien très étroit avec les mathématiques : leurs observables
sont des invariants topologiques de la variété d'espace-temps étudiée. Dans ce mémoire, nous nous intéressons en premier lieu à une théorie de Yang-Mills topologique. Ce modèle-jouet est ici abordé dans
un formalisme de superespace et nous dégageons une méthode systématique de détermination de ses observables. L'intérêt est double : d'une part,
retrouver les résultats obtenus précédemment dans une jauge particulière (de Wess et Zumino) et d'autre part, calculer les observables dans une superjauge quelconque. Notre approche a ainsi permis de vérifier que les observables découvertes jusque là en théorie de
Yang-Mills topologique étaient les seules possibles. Le formalisme développé peut ensuite être appliqué à des
modèles plus complexes; dans cette optique, nous détaillons ici le cas de la gravité topologique.
La mécanique quantique en espace non-commutatif propose une extension de l'algèbre de Heisenberg
de la mécanique quantique ordinaire. La différence tient au fait que les différentes composantes des opérateurs position ou moment ne commutent plus entre elles. Par conséquent, il est nécessaire de renoncer à la notion de point en introduisant une «longueur fondamentale». Nous nous intéressons dans la deuxième partie de ce
manuscrit à la description des différentes algèbres de
commutateurs rencontrées. Des applications à des systèmes quantiques en dimension deux (système de Landau, oscillateur harmonique,...) ainsi qu'une généralisation au cas de systèmes supersymétriques sont présentées.
1 :  IPNL - Institut de Physique Nucléaire de Lyon
Physique/Physique Nucléaire Théorique

Physique/Physique mathématique
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